Производная log((x+1)/(x-3))

Вы ввели

   /x + 1\
log|-----|
   \x - 3/

$$\log{\left (\frac{x + 1}{x - 3} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{x + 1}{x - 3}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x + 1}{x - 3}\right)$:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

      $f{\left (x \right )} = x + 1$ и $g{\left (x \right )} = x - 3$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         В результате: $1$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. дифференцируем $x - 3$ почленно:

         1. Производная постоянной $-3$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         В результате: $1$

      Теперь применим правило производной деления:

      $- \frac{4}{\left(x - 3\right)^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{4 x - 12}{\left(x - 3\right)^{2} \left(x + 1\right)}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{4}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)}$

---

Ответ:

$- \frac{4}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)}$

Первая производная

        /  1      x + 1  \
(x - 3)*|----- - --------|
        |x - 3          2|
        \        (x - 3) /
--------------------------
          x + 1           

$$\frac{1}{x + 1} \left(x - 3\right) \left(\frac{1}{x - 3} - \frac{x + 1}{\left(x - 3\right)^{2}}\right)$$

Вторая производная

/    1 + x \ /    1       1   \
|1 - ------|*|- ----- - ------|
\    -3 + x/ \  1 + x   -3 + x/
-------------------------------
             1 + x             

$$\frac{1}{x + 1} \left(1 - \frac{x + 1}{x - 3}\right) \left(- \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x - 3}\right)$$

Третья производная

  /    1 + x \ /   1           1              1        \
2*|1 - ------|*|-------- + --------- + ----------------|
  \    -3 + x/ |       2           2   (1 + x)*(-3 + x)|
               \(1 + x)    (-3 + x)                    /
--------------------------------------------------------
                         1 + x                          

$$\frac{2}{x + 1} \left(1 - \frac{x + 1}{x - 3}\right) \left(\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} + \frac{1}{\left(x - 3\right)^{2}}\right)$$