Производная log(x+1)-x

Вы ввели

log(x + 1) - x

$$- x + \log{\left (x + 1 \right )}$$

Подробное решение

1. дифференцируем $- x + \log{\left (x + 1 \right )}$ почленно:

   1. Заменим $u = x + 1$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x + 1\right)$:

      1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         2. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         В результате: $1$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{1}{x + 1}$

   4. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Таким образом, в результате: $-1$

   В результате: $-1 + \frac{1}{x + 1}$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{x}{x + 1}$

---

Ответ:

$- \frac{x}{x + 1}$

Первая производная

       1  
-1 + -----
     x + 1

$$-1 + \frac{1}{x + 1}$$

Вторая производная

  -1    
--------
       2
(1 + x) 

$$- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}$$

Третья производная

   2    
--------
       3
(1 + x) 

$$\frac{2}{\left(x + 1\right)^{3}}$$