Производная log((x+6)/x)-1

Вы ввели

   /x + 6\    
log|-----| - 1
   \  x  /    

$$\log{\left (\frac{1}{x} \left(x + 6\right) \right )} - 1$$

Подробное решение

1. дифференцируем $\log{\left (\frac{1}{x} \left(x + 6\right) \right )} - 1$ почленно:

   1. Заменим $u = \frac{1}{x} \left(x + 6\right)$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{1}{x} \left(x + 6\right)\right)$:

      1. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

         $f{\left (x \right )} = x + 6$ и $g{\left (x \right )} = x$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

         1. дифференцируем $x + 6$ почленно:

            1. Производная постоянной $6$ равна нулю.

            2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            В результате: $1$

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Теперь применим правило производной деления:

         $- \frac{6}{x^{2}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{6}{x \left(x + 6\right)}$

   4. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

   В результате: $- \frac{6}{x \left(x + 6\right)}$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{6}{x \left(x + 6\right)}$

---

Ответ:

$- \frac{6}{x \left(x + 6\right)}$

Первая производная

  /1   x + 6\
x*|- - -----|
  |x      2 |
  \      x  /
-------------
    x + 6    

$$\frac{x}{x + 6} \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} \left(x + 6\right)\right)$$

Вторая производная

/    6 + x\ /  1     1  \
|1 - -----|*|- - - -----|
\      x  / \  x   6 + x/
-------------------------
          6 + x          

$$\frac{1}{x + 6} \left(1 - \frac{1}{x} \left(x + 6\right)\right) \left(- \frac{1}{x + 6} - \frac{1}{x}\right)$$

Третья производная

  /    6 + x\ /1       1           1    \
2*|1 - -----|*|-- + -------- + ---------|
  \      x  / | 2          2   x*(6 + x)|
              \x    (6 + x)             /
-----------------------------------------
                  6 + x                  

$$\frac{2}{x + 6} \left(1 - \frac{1}{x} \left(x + 6\right)\right) \left(\frac{1}{\left(x + 6\right)^{2}} + \frac{1}{x \left(x + 6\right)} + \frac{1}{x^{2}}\right)$$