Производная log(x)*sin(x)

Вы ввели

log(x)*sin(x)

$$\log{\left (x \right )} \sin{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная $\log{\left (x \right )}$ является $\frac{1}{x}$.

   $g{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

   В результате: $\log{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + \frac{1}{x} \sin{\left (x \right )}$

---

Ответ:

$\log{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + \frac{1}{x} \sin{\left (x \right )}$

Первая производная

sin(x)                
------ + cos(x)*log(x)
  x                   

$$\log{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + \frac{1}{x} \sin{\left (x \right )}$$

Вторая производная

  sin(x)                   2*cos(x)
- ------ - log(x)*sin(x) + --------
     2                        x    
    x                              

$$- \log{\left (x \right )} \sin{\left (x \right )} + \frac{2}{x} \cos{\left (x \right )} - \frac{1}{x^{2}} \sin{\left (x \right )}$$

Третья производная

                 3*sin(x)   3*cos(x)   2*sin(x)
-cos(x)*log(x) - -------- - -------- + --------
                    x           2          3   
                               x          x    

$$- \log{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} - \frac{3}{x} \sin{\left (x \right )} - \frac{3}{x^{2}} \cos{\left (x \right )} + \frac{2}{x^{3}} \sin{\left (x \right )}$$