Производная log(x)*tan(x)

Вы ввели

log(x)*tan(x)

$$\log{\left (x \right )} \tan{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная $\log{\left (x \right )}$ является $\frac{1}{x}$.

   $g{\left (x \right )} = \tan{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

   В результате: $\frac{\log{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) + \frac{1}{x} \tan{\left (x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{x \cos^{2}{\left (x \right )}} \left(x \log{\left (x \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{x \cos^{2}{\left (x \right )}} \left(x \log{\left (x \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}\right)$

Первая производная

tan(x)   /       2   \       
------ + \1 + tan (x)/*log(x)
  x                          

$$\left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \log{\left (x \right )} + \frac{1}{x} \tan{\left (x \right )}$$

Вторая производная

             /       2   \                                
  tan(x)   2*\1 + tan (x)/     /       2   \              
- ------ + --------------- + 2*\1 + tan (x)/*log(x)*tan(x)
     2            x                                       
    x                                                     

$$2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \log{\left (x \right )} \tan{\left (x \right )} + \frac{1}{x} \left(2 \tan^{2}{\left (x \right )} + 2\right) - \frac{1}{x^{2}} \tan{\left (x \right )}$$

Третья производная

    /       2   \                             2                                             /       2   \       
  3*\1 + tan (x)/   2*tan(x)     /       2   \                2    /       2   \          6*\1 + tan (x)/*tan(x)
- --------------- + -------- + 2*\1 + tan (x)/ *log(x) + 4*tan (x)*\1 + tan (x)/*log(x) + ----------------------
          2             3                                                                           x           
         x             x                                                                                        

$$2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} \log{\left (x \right )} + 4 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \log{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )} + \frac{6}{x} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} - \frac{1}{x^{2}} \left(3 \tan^{2}{\left (x \right )} + 3\right) + \frac{2}{x^{3}} \tan{\left (x \right )}$$