Производная log(x^2+x+1)

Вы ввели

   / 2        \
log\x  + x + 1/

$$\log{\left (x^{2} + x + 1 \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = x^{2} + x + 1$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x^{2} + x + 1\right)$:

   1. дифференцируем $x^{2} + x + 1$ почленно:

      1. дифференцируем $x^{2} + x$ почленно:

         1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

         2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         В результате: $2 x + 1$

      2. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      В результате: $2 x + 1$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 1}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 1}$

---

Ответ:

$\frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 1}$

Первая производная

 1 + 2*x  
----------
 2        
x  + x + 1

$$\frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 1}$$

Вторая производная

             2
    (1 + 2*x) 
2 - ----------
             2
    1 + x + x 
--------------
           2  
  1 + x + x   

$$\frac{1}{x^{2} + x + 1} \left(- \frac{\left(2 x + 1\right)^{2}}{x^{2} + x + 1} + 2\right)$$

Третья производная

            /              2\
            |     (1 + 2*x) |
2*(1 + 2*x)*|-3 + ----------|
            |              2|
            \     1 + x + x /
-----------------------------
                    2        
        /         2\         
        \1 + x + x /         

$$\frac{2}{\left(x^{2} + x + 1\right)^{2}} \left(2 x + 1\right) \left(\frac{\left(2 x + 1\right)^{2}}{x^{2} + x + 1} - 3\right)$$