Производная -cos(x)/x^2

Вы ввели

-cos(x) 
--------
    2   
   x    

$$\frac{1}{x^{2}} \left(-1 \cos{\left (x \right )}\right)$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = - \cos{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = x^{2}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

      Таким образом, в результате: $\sin{\left (x \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{x^{4}} \left(x^{2} \sin{\left (x \right )} + 2 x \cos{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{x^{3}} \left(x \sin{\left (x \right )} + 2 \cos{\left (x \right )}\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{x^{3}} \left(x \sin{\left (x \right )} + 2 \cos{\left (x \right )}\right)$

Первая производная

sin(x)   2*cos(x)
------ + --------
   2         3   
  x         x    

$$\frac{1}{x^{2}} \sin{\left (x \right )} + \frac{2}{x^{3}} \cos{\left (x \right )}$$

Вторая производная

  6*cos(x)   4*sin(x)         
- -------- - -------- + cos(x)
      2         x             
     x                        
------------------------------
               2              
              x               

$$\frac{1}{x^{2}} \left(\cos{\left (x \right )} - \frac{4}{x} \sin{\left (x \right )} - \frac{6}{x^{2}} \cos{\left (x \right )}\right)$$

Третья производная

          6*cos(x)   18*sin(x)   24*cos(x)
-sin(x) - -------- + --------- + ---------
             x            2           3   
                         x           x    
------------------------------------------
                     2                    
                    x                     

$$\frac{1}{x^{2}} \left(- \sin{\left (x \right )} - \frac{6}{x} \cos{\left (x \right )} + \frac{18}{x^{2}} \sin{\left (x \right )} + \frac{24}{x^{3}} \cos{\left (x \right )}\right)$$