Производная -log(cos(x))^2

Вы ввели

    2        
-log (cos(x))

$$- \log^{2}{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Заменим $u = \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}$:

      1. Заменим $u = \cos{\left (x \right )}$.

      2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )}$:

         1. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{2 \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}}{\cos{\left (x \right )}} \sin{\left (x \right )}$

   Таким образом, в результате: $\frac{2 \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}}{\cos{\left (x \right )}} \sin{\left (x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $2 \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} \tan{\left (x \right )}$

---

Ответ:

$2 \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} \tan{\left (x \right )}$

Первая производная

2*log(cos(x))*sin(x)
--------------------
       cos(x)       

$$\frac{2 \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}}{\cos{\left (x \right )}} \sin{\left (x \right )}$$

Вторая производная

  /     2         2                             \
  |  sin (x)   sin (x)*log(cos(x))              |
2*|- ------- + ------------------- + log(cos(x))|
  |     2               2                       |
  \  cos (x)         cos (x)                    /

$$2 \left(\frac{\sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} + \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} - \frac{\sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}}\right)$$

Третья производная

  /                          2           2               \       
  |                     3*sin (x)   2*sin (x)*log(cos(x))|       
2*|-3 + 2*log(cos(x)) - --------- + ---------------------|*sin(x)
  |                         2                 2          |       
  \                      cos (x)           cos (x)       /       
-----------------------------------------------------------------
                              cos(x)                             

$$\frac{2 \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}} \left(\frac{2 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} + 2 \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} - \frac{3 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} - 3\right)$$