Производная -log(1+1/x)

Вы ввели

    /    1\
-log|1 + -|
    \    x/

$$- \log{\left (1 + \frac{1}{x} \right )}$$

Подробное решение

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Заменим $u = 1 + \frac{1}{x}$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(1 + \frac{1}{x}\right)$:

      1. дифференцируем $1 + \frac{1}{x}$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

         В результате: $- \frac{1}{x^{2}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{1}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x}\right)}$

   Таким образом, в результате: $\frac{1}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x}\right)}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{x \left(x + 1\right)}$

---

Ответ:

$\frac{1}{x \left(x + 1\right)}$

Первая производная

    1     
----------
 2 /    1\
x *|1 + -|
   \    x/

$$\frac{1}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x}\right)}$$

Вторая производная

         1    
-2 + ---------
       /    1\
     x*|1 + -|
       \    x/
--------------
   3 /    1\  
  x *|1 + -|  
     \    x/  

$$\frac{-2 + \frac{1}{x \left(1 + \frac{1}{x}\right)}}{x^{3} \left(1 + \frac{1}{x}\right)}$$

Третья производная

  /         1            3    \
2*|3 + ----------- - ---------|
  |              2     /    1\|
  |     2 /    1\    x*|1 + -||
  |    x *|1 + -|      \    x/|
  \       \    x/             /
-------------------------------
            4 /    1\          
           x *|1 + -|          
              \    x/          

$$\frac{1}{x^{4} \left(1 + \frac{1}{x}\right)} \left(6 - \frac{6}{x \left(1 + \frac{1}{x}\right)} + \frac{2}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2}}\right)$$