Производная -(log(x)+1)/x

Вы ввели

-log(x) - 1
-----------
     x     

$$\frac{1}{x} \left(- \log{\left (x \right )} - 1\right)$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = - \log{\left (x \right )} - 1$ и $g{\left (x \right )} = x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $- \log{\left (x \right )} - 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Производная $\log{\left (x \right )}$ является $\frac{1}{x}$.

         Таким образом, в результате: $- \frac{1}{x}$

      В результате: $- \frac{1}{x}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{x^{2}} \log{\left (x \right )}$

---

Ответ:

$\frac{1}{x^{2}} \log{\left (x \right )}$

Первая производная

  1    -log(x) - 1
- -- - -----------
   2         2    
  x         x     

$$- \frac{1}{x^{2}} \left(- \log{\left (x \right )} - 1\right) - \frac{1}{x^{2}}$$

Вторая производная

1 - 2*log(x)
------------
      3     
     x      

$$\frac{1}{x^{3}} \left(- 2 \log{\left (x \right )} + 1\right)$$

Третья производная

-5 + 6*log(x)
-------------
       4     
      x      

$$\frac{1}{x^{4}} \left(6 \log{\left (x \right )} - 5\right)$$