Производная -1/(cos(x))^2

Вы ввели

  -1   
-------
   2   
cos (x)

$$- \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Заменим $u = \cos^{2}{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos^{2}{\left (x \right )}$:

      1. Заменим $u = \cos{\left (x \right )}$.

      2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )}$:

         1. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

         В результате последовательности правил:

         $- 2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{2 \sin{\left (x \right )}}{\cos^{3}{\left (x \right )}}$

   Таким образом, в результате: $- \frac{2 \sin{\left (x \right )}}{\cos^{3}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{2 \sin{\left (x \right )}}{\cos^{3}{\left (x \right )}}$

Первая производная

-2*sin(x)
---------
    3    
 cos (x) 

$$- \frac{2 \sin{\left (x \right )}}{\cos^{3}{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

   /         2   \
   |    3*sin (x)|
-2*|1 + ---------|
   |        2    |
   \     cos (x) /
------------------
        2         
     cos (x)      

$$- \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\frac{6 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + 2\right)$$

Третья производная

   /         2   \       
   |    3*sin (x)|       
-8*|2 + ---------|*sin(x)
   |        2    |       
   \     cos (x) /       
-------------------------
            3            
         cos (x)         

$$- \frac{8 \sin{\left (x \right )}}{\cos^{3}{\left (x \right )}} \left(\frac{3 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + 2\right)$$