Производная -1/cot(x)

Вы ввели

 -1   
------
cot(x)

$$- \frac{1}{\cot{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Заменим $u = \cot{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )}$:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )} \cot^{2}{\left (x \right )}}$

   Таким образом, в результате: $- \frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )} \cot^{2}{\left (x \right )}}$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

Первая производная

 /       2   \ 
-\1 + cot (x)/ 
---------------
       2       
    cot (x)    

$$- \frac{\cot^{2}{\left (x \right )} + 1}{\cot^{2}{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

                /           2   \
  /       2   \ |    1 + cot (x)|
2*\1 + cot (x)/*|1 - -----------|
                |         2     |
                \      cot (x)  /
---------------------------------
              cot(x)             

$$\frac{2}{\cot{\left (x \right )}} \left(- \frac{\cot^{2}{\left (x \right )} + 1}{\cot^{2}{\left (x \right )}} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)$$

Третья производная

  /                                3                  2\
  |                   /       2   \      /       2   \ |
  |          2      3*\1 + cot (x)/    5*\1 + cot (x)/ |
2*|-2 - 2*cot (x) - ---------------- + ----------------|
  |                        4                  2        |
  \                     cot (x)            cot (x)     /

$$2 \left(- \frac{3 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{3}}{\cot^{4}{\left (x \right )}} + \frac{5 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\cot^{2}{\left (x \right )}} - 2 \cot^{2}{\left (x \right )} - 2\right)$$