Производная -1/(sin(x))^2

Вы ввели

  -1   
-------
   2   
sin (x)

$$- \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Заменим $u = \sin^{2}{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin^{2}{\left (x \right )}$:

      1. Заменим $u = \sin{\left (x \right )}$.

      2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}$:

         1. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

         В результате последовательности правил:

         $2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{2 \cos{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}}$

   Таким образом, в результате: $\frac{2 \cos{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{2 \cos{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}}$

Первая производная

2*cos(x)
--------
   3    
sin (x) 

$$\frac{2 \cos{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

   /         2   \
   |    3*cos (x)|
-2*|1 + ---------|
   |        2    |
   \     sin (x) /
------------------
        2         
     sin (x)      

$$- \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \left(2 + \frac{6 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right)$$

Третья производная

  /         2   \       
  |    3*cos (x)|       
8*|2 + ---------|*cos(x)
  |        2    |       
  \     sin (x) /       
------------------------
           3            
        sin (x)         

$$\frac{8 \cos{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}} \left(2 + \frac{3 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right)$$