Производная -x*cot(x)

Вы ввели

-x*cot(x)

$$- x \cot{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = - x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Таким образом, в результате: $-1$

   $g{\left (x \right )} = \cot{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

   В результате: $\frac{x \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}} - \cot{\left (x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{2 x - \sin{\left (2 x \right )}}{- \cos{\left (2 x \right )} + 1}$

---

Ответ:

$\frac{2 x - \sin{\left (2 x \right )}}{- \cos{\left (2 x \right )} + 1}$

Первая производная

            /        2   \
-cot(x) - x*\-1 - cot (x)/

$$- x \left(- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right) - \cot{\left (x \right )}$$

Вторая производная

  /       2        /       2   \       \
2*\1 + cot (x) - x*\1 + cot (x)/*cot(x)/

$$2 \left(- x \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot{\left (x \right )} + \cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)$$

Третья производная

  /       2   \ /              /       2   \          2   \
2*\1 + cot (x)/*\-3*cot(x) + x*\1 + cot (x)/ + 2*x*cot (x)/

$$2 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(x \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) + 2 x \cot^{2}{\left (x \right )} - 3 \cot{\left (x \right )}\right)$$