Производная -x*(sin(x))^2

Вы ввели

      2   
-x*sin (x)

$$- x \sin^{2}{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = - x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Таким образом, в результате: $-1$

   $g{\left (x \right )} = \sin^{2}{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \sin{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$

   В результате: $- 2 x \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} - \sin^{2}{\left (x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $- x \sin{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} - \frac{1}{2}$

---

Ответ:

$- x \sin{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} - \frac{1}{2}$

Первая производная

     2                       
- sin (x) - 2*x*cos(x)*sin(x)

$$- 2 x \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} - \sin^{2}{\left (x \right )}$$

Вторая производная

  /     2           2                     \
2*\x*sin (x) - x*cos (x) - 2*cos(x)*sin(x)/

$$2 \left(x \sin^{2}{\left (x \right )} - x \cos^{2}{\left (x \right )} - 2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\right)$$

Третья производная

  /       2           2                       \
2*\- 3*cos (x) + 3*sin (x) + 4*x*cos(x)*sin(x)/

$$2 \left(4 x \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + 3 \sin^{2}{\left (x \right )} - 3 \cos^{2}{\left (x \right )}\right)$$