Производная 1/(e^x-1)

Вы ввели

  1   
------
 x    
E  - 1

$$\frac{1}{e^{x} - 1}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = e^{x} - 1$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(e^{x} - 1\right)$:

   1. дифференцируем $e^{x} - 1$ почленно:

      1. Производная $e^{x}$ само оно.

      2. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

      В результате: $e^{x}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{e^{x}}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{e^{x}}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$- \frac{e^{x}}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}}$

Первая производная

     x   
   -e    
---------
        2
/ x    \ 
\E  - 1/ 

$$- \frac{e^{x}}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}}$$

Вторая производная

/          x \   
|       2*e  |  x
|-1 + -------|*e 
|           x|   
\     -1 + e /   
-----------------
             2   
    /      x\    
    \-1 + e /    

$$\frac{e^{x}}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}} \left(-1 + \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 1}\right)$$

Третья производная

/          2*x          x \   
|       6*e          6*e  |  x
|-1 - ---------- + -------|*e 
|              2         x|   
|     /      x\    -1 + e |   
\     \-1 + e /           /   
------------------------------
                   2          
          /      x\           
          \-1 + e /           

$$\frac{e^{x}}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}} \left(-1 + \frac{6 e^{x}}{e^{x} - 1} - \frac{6 e^{2 x}}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}}\right)$$