Производная 1/cos(x/2)

Вы ввели

  1   
------
   /x\
cos|-|
   \2/

$$\frac{1}{\cos{\left (\frac{x}{2} \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$:

   1. Заменим $u = \frac{x}{2}$.

   2. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x}{2}\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $\frac{1}{2}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{1}{2} \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{\sin{\left (\frac{x}{2} \right )}}{2 \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{\sin{\left (\frac{x}{2} \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 1}$

---

Ответ:

$\frac{\sin{\left (\frac{x}{2} \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 1}$

Первая производная

     /x\ 
  sin|-| 
     \2/ 
---------
     2/x\
2*cos |-|
      \2/

$$\frac{\sin{\left (\frac{x}{2} \right )}}{2 \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}}$$

Вторая производная

         2/x\
    2*sin |-|
          \2/
1 + ---------
        2/x\ 
     cos |-| 
         \2/ 
-------------
        /x\  
   4*cos|-|  
        \2/  

$$\frac{\frac{2 \sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}}{\cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}} + 1}{4 \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}}$$

Третья производная

/         2/x\\       
|    6*sin |-||       
|          \2/|    /x\
|5 + ---------|*sin|-|
|        2/x\ |    \2/
|     cos |-| |       
\         \2/ /       
----------------------
           2/x\       
      8*cos |-|       
            \2/       

$$\frac{\sin{\left (\frac{x}{2} \right )}}{8 \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}} \left(\frac{6 \sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}}{\cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}} + 5\right)$$