Производная 1/sqrt(x^2-5*x)

Вы ввели

        1      
1*-------------
     __________
    /  2       
  \/  x  - 5*x 

$$1 \cdot \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 5 x}}$$

d /        1      \
--|1*-------------|
dx|     __________|
  |    /  2       |
  \  \/  x  - 5*x /

$$\frac{d}{d x} 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 5 x}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = \sqrt{x^{2} - 5 x}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = x^{2} - 5 x$.

   2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 5 x\right)$:

      1. дифференцируем $x^{2} - 5 x$ почленно:

         1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $-5$

         В результате: $2 x - 5$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{2 x - 5}{2 \sqrt{x^{2} - 5 x}}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $- \frac{2 x - 5}{2 \left(x^{2} - 5 x\right)^{\frac{3}{2}}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{\frac{5}{2} - x}{\left(x \left(x - 5\right)\right)^{\frac{3}{2}}}$

---

Ответ:

$\frac{\frac{5}{2} - x}{\left(x \left(x - 5\right)\right)^{\frac{3}{2}}}$

Первая производная

      -(-5/2 + x)       
------------------------
              __________
/ 2      \   /  2       
\x  - 5*x/*\/  x  - 5*x 

$$- \frac{x - \frac{5}{2}}{\sqrt{x^{2} - 5 x} \left(x^{2} - 5 x\right)}$$

Вторая производная

 /                2\ 
 |    3*(-5 + 2*x) | 
-|1 - -------------| 
 \     4*x*(-5 + x)/ 
---------------------
               3/2   
   (x*(-5 + x))      

$$- \frac{1 - \frac{3 \left(2 x - 5\right)^{2}}{4 x \left(x - 5\right)}}{\left(x \left(x - 5\right)\right)^{\frac{3}{2}}}$$

Третья производная

             /                 2\
             |     5*(-5 + 2*x) |
3*(-5 + 2*x)*|12 - -------------|
             \       x*(-5 + x) /
---------------------------------
                      5/2        
        8*(x*(-5 + x))           

$$\frac{3 \cdot \left(12 - \frac{5 \left(2 x - 5\right)^{2}}{x \left(x - 5\right)}\right) \left(2 x - 5\right)}{8 \left(x \left(x - 5\right)\right)^{\frac{5}{2}}}$$

График