Производная 1/(log(1-tan(x)))

Вы ввели

       1       
---------------
log(1 - tan(x))

$$\frac{1}{\log{\left (- \tan{\left (x \right )} + 1 \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \log{\left (- \tan{\left (x \right )} + 1 \right )}$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left (- \tan{\left (x \right )} + 1 \right )}$:

   1. Заменим $u = - \tan{\left (x \right )} + 1$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(- \tan{\left (x \right )} + 1\right)$:

      1. дифференцируем $- \tan{\left (x \right )} + 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

               Один из способов:

               1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

            Таким образом, в результате: $- \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)$

         В результате: $- \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{\left(- \tan{\left (x \right )} + 1\right) \cos^{2}{\left (x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{\left(- \tan{\left (x \right )} + 1\right) \log^{2}{\left (- \tan{\left (x \right )} + 1 \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{\left(\tan{\left (x \right )} - 1\right) \log^{2}{\left (- \tan{\left (x \right )} + 1 \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{\left(\tan{\left (x \right )} - 1\right) \log^{2}{\left (- \tan{\left (x \right )} + 1 \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}}$

Первая производная

        /        2   \       
       -\-1 - tan (x)/       
-----------------------------
                2            
(1 - tan(x))*log (1 - tan(x))

$$- \frac{- \tan^{2}{\left (x \right )} - 1}{\left(- \tan{\left (x \right )} + 1\right) \log^{2}{\left (- \tan{\left (x \right )} + 1 \right )}}$$

Вторая производная

              /                   2               /       2   \       \
/       2   \ |            1 + tan (x)          2*\1 + tan (x)/       |
\1 + tan (x)/*|-2*tan(x) + ----------- + -----------------------------|
              \            -1 + tan(x)   (-1 + tan(x))*log(1 - tan(x))/
-----------------------------------------------------------------------
                                      2                                
                     (-1 + tan(x))*log (1 - tan(x))                    

$$\frac{1}{\left(\tan{\left (x \right )} - 1\right) \log^{2}{\left (- \tan{\left (x \right )} + 1 \right )}} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(- 2 \tan{\left (x \right )} + \frac{\tan^{2}{\left (x \right )} + 1}{\tan{\left (x \right )} - 1} + \frac{2 \tan^{2}{\left (x \right )} + 2}{\left(\tan{\left (x \right )} - 1\right) \log{\left (- \tan{\left (x \right )} + 1 \right )}}\right)$$

Третья производная

                /                              2                         2                                 2                                                                \
                |                 /       2   \             /       2   \                     /       2   \             /       2   \                /       2   \          |
  /       2   \ |          2      \1 + tan (x)/           3*\1 + tan (x)/                   3*\1 + tan (x)/           3*\1 + tan (x)/*tan(x)       6*\1 + tan (x)/*tan(x)   |
2*\1 + tan (x)/*|-1 - 3*tan (x) - -------------- - ------------------------------ - ------------------------------- + ---------------------- + -----------------------------|
                |                              2                2                                2    2                    -1 + tan(x)         (-1 + tan(x))*log(1 - tan(x))|
                \                 (-1 + tan(x))    (-1 + tan(x)) *log(1 - tan(x))   (-1 + tan(x)) *log (1 - tan(x))                                                         /
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                         2                                                                                   
                                                                        (-1 + tan(x))*log (1 - tan(x))                                                                       

$$\frac{2}{\left(\tan{\left (x \right )} - 1\right) \log^{2}{\left (- \tan{\left (x \right )} + 1 \right )}} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(- 3 \tan^{2}{\left (x \right )} - 1 + \frac{3 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )}}{\tan{\left (x \right )} - 1} + \frac{6 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )}}{\left(\tan{\left (x \right )} - 1\right) \log{\left (- \tan{\left (x \right )} + 1 \right )}} - \frac{\left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\left(\tan{\left (x \right )} - 1\right)^{2}} - \frac{3 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\left(\tan{\left (x \right )} - 1\right)^{2} \log{\left (- \tan{\left (x \right )} + 1 \right )}} - \frac{3 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\left(\tan{\left (x \right )} - 1\right)^{2} \log^{2}{\left (- \tan{\left (x \right )} + 1 \right )}}\right)$$