Производная функции/ От одной переменной/ y' = (1/(log(sin(x))))'

Производная 1/(log(sin(x)))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

Примеры

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
     1     
-----------
log(sin(x))
1log⁡(sin⁡(x))\frac{1}{\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}}
Подробное решение

  1. Заменим u=log⁡(sin⁡(x))u = \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}.

  2. В силу правила, применим: 1u\frac{1}{u} получим −1u2- \frac{1}{u^{2}}

  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddxlog⁡(sin⁡(x))\frac{d}{d x} \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}:

    1. Заменим u=sin⁡(x)u = \sin{\left (x \right )}.

    2. Производная log⁡(u)\log{\left (u \right )} является 1u\frac{1}{u}.

    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddxsin⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}:

      1. Производная синуса есть косинус:

        ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}

      В результате последовательности правил:

      cos⁡(x)sin⁡(x)\frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}}

    В результате последовательности правил:

    −cos⁡(x)log⁡2(sin⁡(x))sin⁡(x)- \frac{\cos{\left (x \right )}}{\log^{2}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \sin{\left (x \right )}}

  4. Теперь упростим:

    −1log⁡2(sin⁡(x))tan⁡(x)- \frac{1}{\log^{2}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \tan{\left (x \right )}}

Ответ:

−1log⁡2(sin⁡(x))tan⁡(x)- \frac{1}{\log^{2}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \tan{\left (x \right )}}

График
02468-8-6-4-2-1010-100000100000
Первая производная [src]
      -cos(x)      
-------------------
   2               
log (sin(x))*sin(x)
−cos⁡(x)log⁡2(sin⁡(x))sin⁡(x)- \frac{\cos{\left (x \right )}}{\log^{2}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \sin{\left (x \right )}}
Упростить
Вторая производная [src]
       2                2        
    cos (x)        2*cos (x)     
1 + ------- + -------------------
       2                     2   
    sin (x)   log(sin(x))*sin (x)
---------------------------------
              2                  
           log (sin(x))
1log⁡2(sin⁡(x))(1+cos⁡2(x)sin⁡2(x)+2cos⁡2(x)log⁡(sin⁡(x))sin⁡2(x))\frac{1}{\log^{2}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}} \left(1 + \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} + \frac{2 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \sin^{2}{\left (x \right )}}\right)
Упростить
Третья производная [src]
   /                     2                2                     2         \       
   |         3        cos (x)        3*cos (x)             3*cos (x)      |       
-2*|1 + ----------- + ------- + ------------------- + --------------------|*cos(x)
   |    log(sin(x))      2                     2         2            2   |       
   \                  sin (x)   log(sin(x))*sin (x)   log (sin(x))*sin (x)/       
----------------------------------------------------------------------------------
                                  2                                               
                               log (sin(x))*sin(x)
−2cos⁡(x)log⁡2(sin⁡(x))sin⁡(x)(1+cos⁡2(x)sin⁡2(x)+3log⁡(sin⁡(x))+3cos⁡2(x)log⁡(sin⁡(x))sin⁡2(x)+3cos⁡2(x)log⁡2(sin⁡(x))sin⁡2(x))- \frac{2 \cos{\left (x \right )}}{\log^{2}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \sin{\left (x \right )}} \left(1 + \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} + \frac{3}{\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}} + \frac{3 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \sin^{2}{\left (x \right )}} + \frac{3 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\log^{2}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \sin^{2}{\left (x \right )}}\right)
Упростить