Производная 1/(-sin(t)^(2))

Вы ввели

   1    
--------
    2   
-sin (t)

$$\frac{1}{-1 \sin^{2}{\left (t \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = - \sin^{2}{\left (t \right )}$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d t}\left(- \sin^{2}{\left (t \right )}\right)$:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим $u = \sin{\left (t \right )}$.

      2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d t} \sin{\left (t \right )}$:

         1. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d t} \sin{\left (t \right )} = \cos{\left (t \right )}$

         В результате последовательности правил:

         $2 \sin{\left (t \right )} \cos{\left (t \right )}$

      Таким образом, в результате: $- 2 \sin{\left (t \right )} \cos{\left (t \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{2 \cos{\left (t \right )}}{\sin^{3}{\left (t \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{2 \cos{\left (t \right )}}{\sin^{3}{\left (t \right )}}$

Первая производная

     -1          
-2*-------*cos(t)
      2          
   sin (t)       
-----------------
      sin(t)     

$$- \frac{-1 \cdot 2 \cos{\left (t \right )}}{\sin^{3}{\left (t \right )}}$$

Вторая производная

   /         2   \
   |    3*cos (t)|
-2*|1 + ---------|
   |        2    |
   \     sin (t) /
------------------
        2         
     sin (t)      

$$- \frac{1}{\sin^{2}{\left (t \right )}} \left(2 + \frac{6 \cos^{2}{\left (t \right )}}{\sin^{2}{\left (t \right )}}\right)$$

Третья производная

  /         2   \       
  |    3*cos (t)|       
8*|2 + ---------|*cos(t)
  |        2    |       
  \     sin (t) /       
------------------------
           3            
        sin (t)         

$$\frac{8 \cos{\left (t \right )}}{\sin^{3}{\left (t \right )}} \left(2 + \frac{3 \cos^{2}{\left (t \right )}}{\sin^{2}{\left (t \right )}}\right)$$