Производная 1/(1-cos(x))

Вы ввели

    1     
----------
1 - cos(x)

$$\frac{1}{- \cos{\left (x \right )} + 1}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = - \cos{\left (x \right )} + 1$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(- \cos{\left (x \right )} + 1\right)$:

   1. дифференцируем $- \cos{\left (x \right )} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

         Таким образом, в результате: $\sin{\left (x \right )}$

      В результате: $\sin{\left (x \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{\sin{\left (x \right )}}{\left(- \cos{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{\sin{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} - 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$- \frac{\sin{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} - 1\right)^{2}}$

Первая производная

   -sin(x)   
-------------
            2
(1 - cos(x)) 

$$- \frac{\sin{\left (x \right )}}{\left(- \cos{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}$$

Вторая производная

 /      2             \ 
 | 2*sin (x)          | 
-|----------- + cos(x)| 
 \-1 + cos(x)         / 
------------------------
                  2     
     (-1 + cos(x))      

$$- \frac{1}{\left(\cos{\left (x \right )} - 1\right)^{2}} \left(\cos{\left (x \right )} + \frac{2 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} - 1}\right)$$

Третья производная

/                         2      \       
|      6*cos(x)      6*sin (x)   |       
|1 - ----------- - --------------|*sin(x)
|    -1 + cos(x)                2|       
\                  (-1 + cos(x)) /       
-----------------------------------------
                           2             
              (-1 + cos(x))              

$$\frac{\sin{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} - 1\right)^{2}} \left(1 - \frac{6 \cos{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} - 1} - \frac{6 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} - 1\right)^{2}}\right)$$