Производная 1/(1-sqrt(x))

Вы ввели

      1    
1*---------
        ___
  1 - \/ x 

$$1 \cdot \frac{1}{1 - \sqrt{x}}$$

d /      1    \
--|1*---------|
dx|        ___|
  \  1 - \/ x /

$$\frac{d}{d x} 1 \cdot \frac{1}{1 - \sqrt{x}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = 1 - \sqrt{x}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. дифференцируем $1 - \sqrt{x}$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $\sqrt{x}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

         Таким образом, в результате: $- \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

      В результате: $- \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{2 \sqrt{x} \left(1 - \sqrt{x}\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{2 \sqrt{x} \left(\sqrt{x} - 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{1}{2 \sqrt{x} \left(\sqrt{x} - 1\right)^{2}}$

Первая производная

         1          
--------------------
                   2
    ___ /      ___\ 
2*\/ x *\1 - \/ x / 

$$\frac{1}{2 \sqrt{x} \left(1 - \sqrt{x}\right)^{2}}$$

Вторая производная

 / 1           2       \ 
-|---- + --------------| 
 | 3/2     /       ___\| 
 \x      x*\-1 + \/ x // 
-------------------------
                   2     
       /       ___\      
     4*\-1 + \/ x /      

$$- \frac{\frac{2}{x \left(\sqrt{x} - 1\right)} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{4 \left(\sqrt{x} - 1\right)^{2}}$$

Третья производная

  / 1            2                  2         \
3*|---- + --------------- + ------------------|
  | 5/2    2 /       ___\                    2|
  |x      x *\-1 + \/ x /    3/2 /       ___\ |
  \                         x   *\-1 + \/ x / /
-----------------------------------------------
                              2                
                  /       ___\                 
                8*\-1 + \/ x /                 

$$\frac{3 \cdot \left(\frac{2}{x^{2} \left(\sqrt{x} - 1\right)} + \frac{2}{x^{\frac{3}{2}} \left(\sqrt{x} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}\right)}{8 \left(\sqrt{x} - 1\right)^{2}}$$

График