Производная 1/(1+exp(-x))

Вы ввели

     1   
1*-------
       -x
  1 + e  

$$1 \cdot \frac{1}{1 + e^{- x}}$$

d /     1   \
--|1*-------|
dx|       -x|
  \  1 + e  /

$$\frac{d}{d x} 1 \cdot \frac{1}{1 + e^{- x}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = e^{x}$ и $g{\left(x \right)} = e^{x} + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Производная $e^{x}$ само оно.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. дифференцируем $e^{x} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная $e^{x}$ само оно.

      В результате: $e^{x}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{\left(e^{x} + 1\right) e^{x} - e^{2 x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{4 \cosh^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{1}{4 \cosh^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$

Первая производная

    -x    
   e      
----------
         2
/     -x\ 
\1 + e  / 

$$\frac{e^{- x}}{\left(1 + e^{- x}\right)^{2}}$$

Вторая производная

 /        -x \     
 |     2*e   |  -x 
-|1 - -------|*e   
 |         -x|     
 \    1 + e  /     
-------------------
              2    
     /     -x\     
     \1 + e  /     

$$- \frac{\left(1 - \frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}}\right) e^{- x}}{\left(1 + e^{- x}\right)^{2}}$$

Третья производная

/        -x        -2*x  \    
|     6*e       6*e      |  -x
|1 - ------- + ----------|*e  
|         -x            2|    
|    1 + e     /     -x\ |    
\              \1 + e  / /    
------------------------------
                   2          
          /     -x\           
          \1 + e  /           

$$\frac{\left(1 - \frac{6 e^{- x}}{1 + e^{- x}} + \frac{6 e^{- 2 x}}{\left(1 + e^{- x}\right)^{2}}\right) e^{- x}}{\left(1 + e^{- x}\right)^{2}}$$

График