Производная 1/(1+cos(x))

Вы ввели

    1     
----------
1 + cos(x)

$$\frac{1}{\cos{\left (x \right )} + 1}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cos{\left (x \right )} + 1$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\cos{\left (x \right )} + 1\right)$:

   1. дифференцируем $\cos{\left (x \right )} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

      В результате: $- \sin{\left (x \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{\sin{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{\sin{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}$

Первая производная

    sin(x)   
-------------
            2
(1 + cos(x)) 

$$\frac{\sin{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}$$

Вторая производная

     2             
2*sin (x)          
---------- + cos(x)
1 + cos(x)         
-------------------
               2   
   (1 + cos(x))    

$$\frac{1}{\left(\cos{\left (x \right )} + 1\right)^{2}} \left(\cos{\left (x \right )} + \frac{2 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 1}\right)$$

Третья производная

/                         2     \       
|      6*cos(x)      6*sin (x)  |       
|-1 + ---------- + -------------|*sin(x)
|     1 + cos(x)               2|       
\                  (1 + cos(x)) /       
----------------------------------------
                         2              
             (1 + cos(x))               

$$\frac{\sin{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} + 1\right)^{2}} \left(-1 + \frac{6 \cos{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 1} + \frac{6 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}\right)$$