Производная 1/(1+sin(x))

Вы ввели

    1     
----------
1 + sin(x)

$$\frac{1}{\sin{\left (x \right )} + 1}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sin{\left (x \right )} + 1$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\sin{\left (x \right )} + 1\right)$:

   1. дифференцируем $\sin{\left (x \right )} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

      В результате: $\cos{\left (x \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{\cos{\left (x \right )}}{\left(\sin{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$- \frac{\cos{\left (x \right )}}{\left(\sin{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}$

Первая производная

   -cos(x)   
-------------
            2
(1 + sin(x)) 

$$- \frac{\cos{\left (x \right )}}{\left(\sin{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}$$

Вторая производная

     2             
2*cos (x)          
---------- + sin(x)
1 + sin(x)         
-------------------
               2   
   (1 + sin(x))    

$$\frac{1}{\left(\sin{\left (x \right )} + 1\right)^{2}} \left(\sin{\left (x \right )} + \frac{2 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} + 1}\right)$$

Третья производная

/                        2     \       
|     6*sin(x)      6*cos (x)  |       
|1 - ---------- - -------------|*cos(x)
|    1 + sin(x)               2|       
\                 (1 + sin(x)) /       
---------------------------------------
                         2             
             (1 + sin(x))              

$$\frac{\cos{\left (x \right )}}{\left(\sin{\left (x \right )} + 1\right)^{2}} \left(1 - \frac{6 \sin{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} + 1} - \frac{6 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\left(\sin{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}\right)$$