Производная 1/(1+x^2)

Вы ввели

  1   
------
     2
1 + x 

$$\frac{1}{x^{2} + 1}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = x^{2} + 1$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x^{2} + 1\right)$:

   1. дифференцируем $x^{2} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

      В результате: $2 x$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{2 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$- \frac{2 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$

Первая производная

   -2*x  
---------
        2
/     2\ 
\1 + x / 

$$- \frac{2 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$

Вторая производная

  /         2 \
  |      4*x  |
2*|-1 + ------|
  |          2|
  \     1 + x /
---------------
           2   
   /     2\    
   \1 + x /    

$$\frac{\frac{8 x^{2}}{x^{2} + 1} - 2}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$

Третья производная

     /        2 \
     |     2*x  |
24*x*|1 - ------|
     |         2|
     \    1 + x /
-----------------
            3    
    /     2\     
    \1 + x /     

$$\frac{24 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{3}} \left(- \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} + 1\right)$$