Производная 1/(sin(4*x))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
     1    
1*--------
  sin(4*x)
11sin(4x)1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(4 x \right)}}
d /     1    \
--|1*--------|
dx\  sin(4*x)/
ddx11sin(4x)\frac{d}{d x} 1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(4 x \right)}}
Подробное решение
  1. Применим правило производной частного:

    ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

    f(x)=1f{\left(x \right)} = 1 и g(x)=sin(4x)g{\left(x \right)} = \sin{\left(4 x \right)}.

    Чтобы найти ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. Производная постоянной 11 равна нулю.

    Чтобы найти ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. Заменим u=4xu = 4 x.

    2. Производная синуса есть косинус:

      ddusin(u)=cos(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddx4x\frac{d}{d x} 4 x:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

        1. В силу правила, применим: xx получим 11

        Таким образом, в результате: 44

      В результате последовательности правил:

      4cos(4x)4 \cos{\left(4 x \right)}

    Теперь применим правило производной деления:

    4cos(4x)sin2(4x)- \frac{4 \cos{\left(4 x \right)}}{\sin^{2}{\left(4 x \right)}}


Ответ:

4cos(4x)sin2(4x)- \frac{4 \cos{\left(4 x \right)}}{\sin^{2}{\left(4 x \right)}}

График
02468-8-6-4-2-1010-50005000
Первая производная [src]
-4*cos(4*x)
-----------
    2      
 sin (4*x) 
4cos(4x)sin2(4x)- \frac{4 \cos{\left(4 x \right)}}{\sin^{2}{\left(4 x \right)}}
Вторая производная [src]
   /         2     \
   |    2*cos (4*x)|
16*|1 + -----------|
   |        2      |
   \     sin (4*x) /
--------------------
      sin(4*x)      
16(1+2cos2(4x)sin2(4x))sin(4x)\frac{16 \cdot \left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(4 x \right)}}{\sin^{2}{\left(4 x \right)}}\right)}{\sin{\left(4 x \right)}}
Третья производная [src]
    /         2     \         
    |    6*cos (4*x)|         
-64*|5 + -----------|*cos(4*x)
    |        2      |         
    \     sin (4*x) /         
------------------------------
             2                
          sin (4*x)           
64(5+6cos2(4x)sin2(4x))cos(4x)sin2(4x)- \frac{64 \cdot \left(5 + \frac{6 \cos^{2}{\left(4 x \right)}}{\sin^{2}{\left(4 x \right)}}\right) \cos{\left(4 x \right)}}{\sin^{2}{\left(4 x \right)}}
График
Производная 1/(sin(4*x)) /media/krcore-image-pods/hash/derivative/4/49/134b897574b364558b090b40a6ff8.png