Производная 1/sin(10*x)^(2)

Вы ввели

    1     
----------
   2      
sin (10*x)

$$\frac{1}{\sin^{2}{\left (10 x \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sin^{2}{\left (10 x \right )}$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin^{2}{\left (10 x \right )}$:

   1. Заменим $u = \sin{\left (10 x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (10 x \right )}$:

      1. Заменим $u = 10 x$.

      2. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(10 x\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $10$

         В результате последовательности правил:

         $10 \cos{\left (10 x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $20 \sin{\left (10 x \right )} \cos{\left (10 x \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{20 \cos{\left (10 x \right )}}{\sin^{3}{\left (10 x \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{20 \cos{\left (10 x \right )}}{\sin^{3}{\left (10 x \right )}}$

Первая производная

   -20*cos(10*x)    
--------------------
             2      
sin(10*x)*sin (10*x)

$$- \frac{20 \cos{\left (10 x \right )}}{\sin^{3}{\left (10 x \right )}}$$

Вторая производная

    /         2      \
    |    3*cos (10*x)|
200*|1 + ------------|
    |        2       |
    \     sin (10*x) /
----------------------
         2            
      sin (10*x)      

$$\frac{1}{\sin^{2}{\left (10 x \right )}} \left(200 + \frac{600 \cos^{2}{\left (10 x \right )}}{\sin^{2}{\left (10 x \right )}}\right)$$

Третья производная

      /         2      \          
      |    3*cos (10*x)|          
-8000*|2 + ------------|*cos(10*x)
      |        2       |          
      \     sin (10*x) /          
----------------------------------
               3                  
            sin (10*x)            

$$- \frac{8000 \cos{\left (10 x \right )}}{\sin^{3}{\left (10 x \right )}} \left(2 + \frac{3 \cos^{2}{\left (10 x \right )}}{\sin^{2}{\left (10 x \right )}}\right)$$