Производная 1/sin(5*x)

Вы ввели

   1    
--------
sin(5*x)

$$\frac{1}{\sin{\left(5 x \right)}}$$

d /   1    \
--|--------|
dx\sin(5*x)/

$$\frac{d}{d x} \frac{1}{\sin{\left(5 x \right)}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sin{\left(5 x \right)}$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left(5 x \right)}$:

   1. Заменим $u = 5 x$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 5 x$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $5$

      В результате последовательности правил:

      $5 \cos{\left(5 x \right)}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{5 \cos{\left(5 x \right)}}{\sin^{2}{\left(5 x \right)}}$

---

Ответ:

$- \frac{5 \cos{\left(5 x \right)}}{\sin^{2}{\left(5 x \right)}}$

Первая производная

-5*cos(5*x)
-----------
    2      
 sin (5*x) 

$$- \frac{5 \cos{\left(5 x \right)}}{\sin^{2}{\left(5 x \right)}}$$

Вторая производная

   /         2     \
   |    2*cos (5*x)|
25*|1 + -----------|
   |        2      |
   \     sin (5*x) /
--------------------
      sin(5*x)      

$$\frac{25 \cdot \left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(5 x \right)}}{\sin^{2}{\left(5 x \right)}}\right)}{\sin{\left(5 x \right)}}$$

Третья производная

     /         2     \         
     |    6*cos (5*x)|         
-125*|5 + -----------|*cos(5*x)
     |        2      |         
     \     sin (5*x) /         
-------------------------------
              2                
           sin (5*x)           

$$- \frac{125 \cdot \left(5 + \frac{6 \cos^{2}{\left(5 x \right)}}{\sin^{2}{\left(5 x \right)}}\right) \cos{\left(5 x \right)}}{\sin^{2}{\left(5 x \right)}}$$

График