Производная 1/(x*x+1)

Вы ввели

   1   
-------
x*x + 1

$$\frac{1}{x x + 1}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = x x + 1$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x x + 1\right)$:

   1. дифференцируем $x x + 1$ почленно:

      1. Применяем правило производной умножения:

         $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

         $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         $g{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         В результате: $2 x$

      2. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      В результате: $2 x$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{2 x}{\left(x x + 1\right)^{2}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{2 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$- \frac{2 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$

Первая производная

   -2*x   
----------
         2
(x*x + 1) 

$$- \frac{2 x}{\left(x x + 1\right)^{2}}$$

Вторая производная

  /         2 \
  |      4*x  |
2*|-1 + ------|
  |          2|
  \     1 + x /
---------------
           2   
   /     2\    
   \1 + x /    

$$\frac{\frac{8 x^{2}}{x^{2} + 1} - 2}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$

Третья производная

     /        2 \
     |     2*x  |
24*x*|1 - ------|
     |         2|
     \    1 + x /
-----------------
            3    
    /     2\     
    \1 + x /     

$$\frac{24 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{3}} \left(- \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} + 1\right)$$