Производная 1/x^n

Вы ввели

  1 
1*--
   n
  x 

$$1 \cdot \frac{1}{x^{n}}$$

d /  1 \
--|1*--|
dx|   n|
  \  x /

$$\frac{\partial}{\partial x} 1 \cdot \frac{1}{x^{n}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = x^{n}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x^{n}$ получим $\frac{n x^{n}}{x}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $- \frac{n x^{- n}}{x}$

---

Ответ:

$- \frac{n x^{- n}}{x}$

Первая производная

    -n 
-n*x   
-------
   x   

$$- \frac{n x^{- n}}{x}$$

Вторая производная

   -n        
n*x  *(1 + n)
-------------
       2     
      x      

$$\frac{n x^{- n} \left(n + 1\right)}{x^{2}}$$

Третья производная

    -n /     2      \ 
-n*x  *\2 + n  + 3*n/ 
----------------------
           3          
          x           

$$- \frac{n x^{- n} \left(n^{2} + 3 n + 2\right)}{x^{3}}$$