Производная 1-log(sin(x))

Вы ввели

1 - log(sin(x))

$$- \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + 1$$

Подробное решение

1. дифференцируем $- \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + 1$ почленно:

   1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

   2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим $u = \sin{\left (x \right )}$.

      2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}$:

         1. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}}$

      Таким образом, в результате: $- \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}}$

   В результате: $- \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}}$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{\tan{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{\tan{\left (x \right )}}$

Первая производная

-cos(x) 
--------
 sin(x) 

$$- \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

       2   
    cos (x)
1 + -------
       2   
    sin (x)

$$1 + \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$$

Третья производная

   /       2   \       
   |    cos (x)|       
-2*|1 + -------|*cos(x)
   |       2   |       
   \    sin (x)/       
-----------------------
         sin(x)        

$$- \frac{2 \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} \left(1 + \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right)$$