Производная (1-log(x))/(x+1)

Вы ввели

1 - log(x)
----------
  x + 1   

$$\frac{1}{x + 1} \left(- \log{\left (x \right )} + 1\right)$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = - \log{\left (x \right )} + 1$ и $g{\left (x \right )} = x + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $- \log{\left (x \right )} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Производная $\log{\left (x \right )}$ является $\frac{1}{x}$.

         Таким образом, в результате: $- \frac{1}{x}$

      В результате: $- \frac{1}{x}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      В результате: $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} \left(\log{\left (x \right )} - 1 - \frac{1}{x} \left(x + 1\right)\right)$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{x \left(x + 1\right)^{2}} \left(- x \left(\log{\left (x \right )} - 1\right) + x + 1\right)$

---

Ответ:

$- \frac{1}{x \left(x + 1\right)^{2}} \left(- x \left(\log{\left (x \right )} - 1\right) + x + 1\right)$

Первая производная

      1       1 - log(x)
- --------- - ----------
  x*(x + 1)           2 
               (x + 1)  

$$- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} \left(- \log{\left (x \right )} + 1\right) - \frac{1}{x \left(x + 1\right)}$$

Вторая производная

1    2*(-1 + log(x))       2    
-- - --------------- + ---------
 2              2      x*(1 + x)
x        (1 + x)                
--------------------------------
             1 + x              

$$\frac{1}{x + 1} \left(- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} \left(2 \log{\left (x \right )} - 2\right) + \frac{2}{x \left(x + 1\right)} + \frac{1}{x^{2}}\right)$$

Третья производная

  2        6            3        6*(-1 + log(x))
- -- - ---------- - ---------- + ---------------
   3            2    2                      3   
  x    x*(1 + x)    x *(1 + x)       (1 + x)    
------------------------------------------------
                     1 + x                      

$$\frac{1}{x + 1} \left(\frac{1}{\left(x + 1\right)^{3}} \left(6 \log{\left (x \right )} - 6\right) - \frac{6}{x \left(x + 1\right)^{2}} - \frac{3}{x^{2} \left(x + 1\right)} - \frac{2}{x^{3}}\right)$$