Производная 1+log(sin(x))

Вы ввели

1 + log(sin(x))

$$\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + 1$$

Подробное решение

1. дифференцируем $\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + 1$ почленно:

   1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

   2. Заменим $u = \sin{\left (x \right )}$.

   3. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}}$

   В результате: $\frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{\tan{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{1}{\tan{\left (x \right )}}$

Первая производная

cos(x)
------
sin(x)

$$\frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

 /       2   \
 |    cos (x)|
-|1 + -------|
 |       2   |
 \    sin (x)/

$$- 1 + \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$$

Третья производная

  /       2   \       
  |    cos (x)|       
2*|1 + -------|*cos(x)
  |       2   |       
  \    sin (x)/       
----------------------
        sin(x)        

$$\frac{2 \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} \left(1 + \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right)$$