Производная (1+log(x))/x

Вы ввели

1 + log(x)
----------
    x     

$$\frac{1}{x} \left(\log{\left (x \right )} + 1\right)$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )} + 1$ и $g{\left (x \right )} = x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $\log{\left (x \right )} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная $\log{\left (x \right )}$ является $\frac{1}{x}$.

      В результате: $\frac{1}{x}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $- \frac{1}{x^{2}} \log{\left (x \right )}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{x^{2}} \log{\left (x \right )}$

Первая производная

1    1 + log(x)
-- - ----------
 2        2    
x        x     

$$- \frac{1}{x^{2}} \left(\log{\left (x \right )} + 1\right) + \frac{1}{x^{2}}$$

Вторая производная

-1 + 2*log(x)
-------------
       3     
      x      

$$\frac{1}{x^{3}} \left(2 \log{\left (x \right )} - 1\right)$$

Третья производная

5 - 6*log(x)
------------
      4     
     x      

$$\frac{1}{x^{4}} \left(- 6 \log{\left (x \right )} + 5\right)$$