Производная 1+sin(x)*cos(x)

Вы ввели

1 + sin(x)*cos(x)

$$\sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + 1$$

Подробное решение

1. дифференцируем $\sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + 1$ почленно:

   1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

   2. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

      $f{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

      $g{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

      В результате: $- \sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}$

   В результате: $- \sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $\cos{\left (2 x \right )}$

---

Ответ:

$\cos{\left (2 x \right )}$

Первая производная

   2         2   
cos (x) - sin (x)

$$- \sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}$$

Вторая производная

-4*cos(x)*sin(x)

$$- 4 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$$

Третья производная

  /   2         2   \
4*\sin (x) - cos (x)/

$$4 \left(\sin^{2}{\left (x \right )} - \cos^{2}{\left (x \right )}\right)$$