Производная 1+tan(x+1/x)

Вы ввели

       /    1\
1 + tan|x + -|
       \    x/

$$\tan{\left (x + \frac{1}{x} \right )} + 1$$

Подробное решение

1. дифференцируем $\tan{\left (x + \frac{1}{x} \right )} + 1$ почленно:

   1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

   2. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим $u = x + \frac{1}{x}$.

      2. $\frac{d}{d u} \tan{\left (u \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (u \right )}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x + \frac{1}{x}\right)$:

         1. дифференцируем $x + \frac{1}{x}$ почленно:

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            2. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

            В результате: $1 - \frac{1}{x^{2}}$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{1 - \frac{1}{x^{2}}}{\cos^{2}{\left (x + \frac{1}{x} \right )}}$

   В результате: $\frac{1}{\cos^{2}{\left (x + \frac{1}{x} \right )}} \left(\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right) \sin^{2}{\left (x + \frac{1}{x} \right )} + \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right) \cos^{2}{\left (x + \frac{1}{x} \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} \cos^{2}{\left (x + \frac{1}{x} \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} \cos^{2}{\left (x + \frac{1}{x} \right )}}$

Первая производная

/       2/    1\\ /    1 \
|1 + tan |x + -||*|1 - --|
\        \    x// |     2|
                  \    x /

$$\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right) \left(\tan^{2}{\left (x + \frac{1}{x} \right )} + 1\right)$$

Вторая производная

                    /             2           \
  /       2/    1\\ |1    /    1 \     /    1\|
2*|1 + tan |x + -||*|-- + |1 - --| *tan|x + -||
  \        \    x// | 3   |     2|     \    x/|
                    \x    \    x /            /

$$2 \left(\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)^{2} \tan{\left (x + \frac{1}{x} \right )} + \frac{1}{x^{3}}\right) \left(\tan^{2}{\left (x + \frac{1}{x} \right )} + 1\right)$$

Третья производная

                    /                                                                 /    1 \    /    1\\
                    |                                                               6*|1 - --|*tan|x + -||
                    |               3                               3                 |     2|    \    x/|
  /       2/    1\\ |  3    /    1 \  /       2/    1\\     /    1 \     2/    1\     \    x /           |
2*|1 + tan |x + -||*|- -- + |1 - --| *|1 + tan |x + -|| + 2*|1 - --| *tan |x + -| + ---------------------|
  \        \    x// |   4   |     2|  \        \    x//     |     2|      \    x/              3         |
                    \  x    \    x /                        \    x /                          x          /

$$2 \left(\tan^{2}{\left (x + \frac{1}{x} \right )} + 1\right) \left(\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)^{3} \left(\tan^{2}{\left (x + \frac{1}{x} \right )} + 1\right) + 2 \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)^{3} \tan^{2}{\left (x + \frac{1}{x} \right )} + \frac{6}{x^{3}} \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right) \tan{\left (x + \frac{1}{x} \right )} - \frac{3}{x^{4}}\right)$$