Производная (1+x)/x

Вы ввели

1 + x
-----
  x  

$$\frac{1}{x} \left(x + 1\right)$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x + 1$ и $g{\left (x \right )} = x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      В результате: $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $- \frac{1}{x^{2}}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{x^{2}}$

Первая производная

1   1 + x
- - -----
x      2 
      x  

$$\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} \left(x + 1\right)$$

Вторая производная

  /     1 + x\
2*|-1 + -----|
  \       x  /
--------------
       2      
      x       

$$\frac{1}{x^{2}} \left(-2 + \frac{1}{x} \left(2 x + 2\right)\right)$$

Третья производная

  /    1 + x\
6*|1 - -----|
  \      x  /
-------------
       3     
      x      

$$\frac{1}{x^{3}} \left(6 - \frac{1}{x} \left(6 x + 6\right)\right)$$