Производная 5/tan(x)

Вы ввели

  5   
------
tan(x)

$$\frac{5}{\tan{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Заменим $u = \tan{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )}$:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}}$

   Таким образом, в результате: $- \frac{5 \sin^{2}{\left (x \right )} + 5 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}}$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{5}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{5}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

Первая производная

  /        2   \
5*\-1 - tan (x)/
----------------
       2        
    tan (x)     

$$\frac{- 5 \tan^{2}{\left (x \right )} - 5}{\tan^{2}{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

                 /            2   \
   /       2   \ |     1 + tan (x)|
10*\1 + tan (x)/*|-1 + -----------|
                 |          2     |
                 \       tan (x)  /
-----------------------------------
               tan(x)              

$$\frac{10}{\tan{\left (x \right )}} \left(\frac{\tan^{2}{\left (x \right )} + 1}{\tan^{2}{\left (x \right )}} - 1\right) \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)$$

Третья производная

   /                                3                  2\
   |                   /       2   \      /       2   \ |
   |          2      3*\1 + tan (x)/    5*\1 + tan (x)/ |
10*|-2 - 2*tan (x) - ---------------- + ----------------|
   |                        4                  2        |
   \                     tan (x)            tan (x)     /

$$10 \left(- \frac{3 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{3}}{\tan^{4}{\left (x \right )}} + \frac{5 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\tan^{2}{\left (x \right )}} - 2 \tan^{2}{\left (x \right )} - 2\right)$$