Производная 5*sec(x)*tan(x)

Вы ввели

5*sec(x)*tan(x)

$$\tan{\left (x \right )} 5 \sec{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = 5 \sec{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. Производная секанса есть секанс, умноженный на тангенс:

            $\frac{d}{d x} \sec{\left (x \right )} = \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )}$

      Таким образом, в результате: $\frac{5 \sin{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

   $g{\left (x \right )} = \tan{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

   В результате: $\frac{5 \sec{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) + \frac{5 \sin{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \tan{\left (x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{-5 + \frac{10}{\cos^{2}{\left (x \right )}}}{\cos{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{-5 + \frac{10}{\cos^{2}{\left (x \right )}}}{\cos{\left (x \right )}}$

Первая производная

     2               /       2   \       
5*tan (x)*sec(x) + 5*\1 + tan (x)/*sec(x)

$$5 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sec{\left (x \right )} + 5 \tan^{2}{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )}$$

Вторая производная

  /         2   \              
5*\5 + 6*tan (x)/*sec(x)*tan(x)

$$5 \left(6 \tan^{2}{\left (x \right )} + 5\right) \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )}$$

Третья производная

  /                         2                           \       
  |   4        /       2   \          2    /       2   \|       
5*\tan (x) + 5*\1 + tan (x)/  + 18*tan (x)*\1 + tan (x)//*sec(x)

$$5 \left(5 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} + 18 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan^{2}{\left (x \right )} + \tan^{4}{\left (x \right )}\right) \sec{\left (x \right )}$$