Производная 5^(cot(3*x))

Вы ввели

 cot(3*x)
5        

$$5^{\cot{\left (3 x \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cot{\left (3 x \right )}$.

2. $\frac{d}{d u} 5^{u} = 5^{u} \log{\left (5 \right )}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cot{\left (3 x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим $u = 3 x$.

      2. $\frac{d}{d u} \cot{\left (u \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (u \right )}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(3 x\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $3$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{3}{\sin^{2}{\left (3 x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{5^{\cot{\left (3 x \right )}} \log{\left (5 \right )}}{\cos^{2}{\left (3 x \right )} \tan^{2}{\left (3 x \right )}} \left(3 \sin^{2}{\left (3 x \right )} + 3 \cos^{2}{\left (3 x \right )}\right)$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{5^{\frac{1}{\tan{\left (3 x \right )}}} \log{\left (125 \right )}}{\sin^{2}{\left (3 x \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{5^{\frac{1}{\tan{\left (3 x \right )}}} \log{\left (125 \right )}}{\sin^{2}{\left (3 x \right )}}$

Первая производная

 cot(3*x) /          2     \       
5        *\-3 - 3*cot (3*x)/*log(5)

$$5^{\cot{\left (3 x \right )}} \left(- 3 \cot^{2}{\left (3 x \right )} - 3\right) \log{\left (5 \right )}$$

Вторая производная

   cot(3*x) /       2     \ /             /       2     \       \       
9*5        *\1 + cot (3*x)/*\2*cot(3*x) + \1 + cot (3*x)/*log(5)/*log(5)

$$9 \cdot 5^{\cot{\left (3 x \right )}} \left(\left(\cot^{2}{\left (3 x \right )} + 1\right) \log{\left (5 \right )} + 2 \cot{\left (3 x \right )}\right) \left(\cot^{2}{\left (3 x \right )} + 1\right) \log{\left (5 \right )}$$

Третья производная

                              /                                 2                                            \       
     cot(3*x) /       2     \ |         2        /       2     \     2        /       2     \                |       
-27*5        *\1 + cot (3*x)/*\2 + 6*cot (3*x) + \1 + cot (3*x)/ *log (5) + 6*\1 + cot (3*x)/*cot(3*x)*log(5)/*log(5)

$$- 27 \cdot 5^{\cot{\left (3 x \right )}} \left(\cot^{2}{\left (3 x \right )} + 1\right) \left(\left(\cot^{2}{\left (3 x \right )} + 1\right)^{2} \log^{2}{\left (5 \right )} + 6 \left(\cot^{2}{\left (3 x \right )} + 1\right) \log{\left (5 \right )} \cot{\left (3 x \right )} + 6 \cot^{2}{\left (3 x \right )} + 2\right) \log{\left (5 \right )}$$