Производная 5^(cot(x)^(4))

Вы ввели

    4   
 cot (x)
5       

$$5^{\cot^{4}{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cot^{4}{\left (x \right )}$.

2. $\frac{d}{d u} 5^{u} = 5^{u} \log{\left (5 \right )}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cot^{4}{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \cot{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{4}$ получим $4 u^{3}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )}$:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{4 \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) \cot^{3}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{4 \cdot 5^{\cot^{4}{\left (x \right )}} \log{\left (5 \right )} \cot^{3}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{5^{\frac{1}{\tan^{4}{\left (x \right )}}} \cos^{3}{\left (x \right )}}{\sin^{5}{\left (x \right )}} \log{\left (625 \right )}$

---

Ответ:

$- \frac{5^{\frac{1}{\tan^{4}{\left (x \right )}}} \cos^{3}{\left (x \right )}}{\sin^{5}{\left (x \right )}} \log{\left (625 \right )}$

Первая производная

    4                                   
 cot (x)    3    /          2   \       
5       *cot (x)*\-4 - 4*cot (x)/*log(5)

$$5^{\cot^{4}{\left (x \right )}} \left(- 4 \cot^{2}{\left (x \right )} - 4\right) \log{\left (5 \right )} \cot^{3}{\left (x \right )}$$

Вторая производная

      4                                                                                 
   cot (x)    2    /       2   \ /         2           4    /       2   \       \       
4*5       *cot (x)*\1 + cot (x)/*\3 + 5*cot (x) + 4*cot (x)*\1 + cot (x)/*log(5)/*log(5)

$$4 \cdot 5^{\cot^{4}{\left (x \right )}} \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(4 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \log{\left (5 \right )} \cot^{4}{\left (x \right )} + 5 \cot^{2}{\left (x \right )} + 3\right) \log{\left (5 \right )} \cot^{2}{\left (x \right )}$$

Третья производная

       4                  /                           2                                             2                                                                     2               \              
    cot (x) /       2   \ |     4        /       2   \          2    /       2   \     /       2   \     8       2            6    /       2   \             /       2   \     4          |              
-8*5       *\1 + cot (x)/*\2*cot (x) + 3*\1 + cot (x)/  + 10*cot (x)*\1 + cot (x)/ + 8*\1 + cot (x)/ *cot (x)*log (5) + 12*cot (x)*\1 + cot (x)/*log(5) + 18*\1 + cot (x)/ *cot (x)*log(5)/*cot(x)*log(5)

$$- 8 \cdot 5^{\cot^{4}{\left (x \right )}} \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(8 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} \log^{2}{\left (5 \right )} \cot^{8}{\left (x \right )} + 18 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} \log{\left (5 \right )} \cot^{4}{\left (x \right )} + 3 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} + 12 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \log{\left (5 \right )} \cot^{6}{\left (x \right )} + 10 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot^{2}{\left (x \right )} + 2 \cot^{4}{\left (x \right )}\right) \log{\left (5 \right )} \cot{\left (x \right )}$$