Производная 5^sin(x)^(2)

Вы ввели

    2   
 sin (x)
5       

$$5^{\sin^{2}{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sin^{2}{\left (x \right )}$.

2. $\frac{d}{d u} 5^{u} = 5^{u} \log{\left (5 \right )}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin^{2}{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \sin{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $2 \cdot 5^{\sin^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (5 \right )} \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$

4. Теперь упростим:

   $5^{- \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2}} \log{\left (5 \right )} \sin{\left (2 x \right )}$

---

Ответ:

$5^{- \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2}} \log{\left (5 \right )} \sin{\left (2 x \right )}$

Первая производная

      2                        
   sin (x)                     
2*5       *cos(x)*log(5)*sin(x)

$$2 \cdot 5^{\sin^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (5 \right )} \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$$

Вторая производная

      2                                                         
   sin (x) /   2         2           2       2          \       
2*5       *\cos (x) - sin (x) + 2*cos (x)*sin (x)*log(5)/*log(5)

$$2 \cdot 5^{\sin^{2}{\left (x \right )}} \left(2 \log{\left (5 \right )} \sin^{2}{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} - \sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) \log{\left (5 \right )}$$

Третья производная

      2                                                                                               
   sin (x) /          2                  2                  2       2       2   \                     
4*5       *\-2 - 3*sin (x)*log(5) + 3*cos (x)*log(5) + 2*cos (x)*log (5)*sin (x)/*cos(x)*log(5)*sin(x)

$$4 \cdot 5^{\sin^{2}{\left (x \right )}} \left(2 \log^{2}{\left (5 \right )} \sin^{2}{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} - 3 \log{\left (5 \right )} \sin^{2}{\left (x \right )} + 3 \log{\left (5 \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} - 2\right) \log{\left (5 \right )} \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$$