Производная 5^tan(2*x)

Вы ввели

 tan(2*x)
5        

$$5^{\tan{\left(2 x \right)}}$$

d / tan(2*x)\
--\5        /
dx           

$$\frac{d}{d x} 5^{\tan{\left(2 x \right)}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \tan{\left(2 x \right)}$.

2. $\frac{d}{d u} 5^{u} = 5^{u} \log{\left(5 \right)}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(2 x \right)}$:

   1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      $\tan{\left(2 x \right)} = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}$

   2. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = 2 x$.

      2. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 2 x$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $2$

         В результате последовательности правил:

         $2 \cos{\left(2 x \right)}$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = 2 x$.

      2. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 2 x$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $2$

         В результате последовательности правил:

         $- 2 \sin{\left(2 x \right)}$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{5^{\tan{\left(2 x \right)}} \left(2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right) \log{\left(5 \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{2 \cdot 5^{\tan{\left(2 x \right)}} \log{\left(5 \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{2 \cdot 5^{\tan{\left(2 x \right)}} \log{\left(5 \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}$

Первая производная

 tan(2*x) /         2     \       
5        *\2 + 2*tan (2*x)/*log(5)

$$5^{\tan{\left(2 x \right)}} \left(2 \tan^{2}{\left(2 x \right)} + 2\right) \log{\left(5 \right)}$$

Вторая производная

   tan(2*x) /       2     \ /             /       2     \       \       
4*5        *\1 + tan (2*x)/*\2*tan(2*x) + \1 + tan (2*x)/*log(5)/*log(5)

$$4 \cdot 5^{\tan{\left(2 x \right)}} \left(\left(\tan^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right) \log{\left(5 \right)} + 2 \tan{\left(2 x \right)}\right) \left(\tan^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right) \log{\left(5 \right)}$$

Третья производная

                            /                                 2                                            \       
   tan(2*x) /       2     \ |         2        /       2     \     2        /       2     \                |       
8*5        *\1 + tan (2*x)/*\2 + 6*tan (2*x) + \1 + tan (2*x)/ *log (5) + 6*\1 + tan (2*x)/*log(5)*tan(2*x)/*log(5)

$$8 \cdot 5^{\tan{\left(2 x \right)}} \left(\tan^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right) \left(\left(\tan^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right)^{2} \log{\left(5 \right)}^{2} + 6 \left(\tan^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right) \log{\left(5 \right)} \tan{\left(2 x \right)} + 6 \tan^{2}{\left(2 x \right)} + 2\right) \log{\left(5 \right)}$$

График