Производная 5^(x/(3^x))

Вы ввели

 x 
 --
  x
 3 
5  

$$5^{\frac{x}{3^{x}}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{x}{3^{x}}$.

2. $\frac{d}{d u} 5^{u} = 5^{u} \log{\left (5 \right )}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x}{3^{x}}\right)$:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

      $f{\left (x \right )} = x$ и $g{\left (x \right )} = 3^{x}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. $\frac{d}{d x} 3^{x} = 3^{x} \log{\left (3 \right )}$

      Теперь применим правило производной деления:

      $3^{- 2 x} \left(- 3^{x} x \log{\left (3 \right )} + 3^{x}\right)$

   В результате последовательности правил:

   $3^{- 2 x} 5^{\frac{x}{3^{x}}} \left(- 3^{x} x \log{\left (3 \right )} + 3^{x}\right) \log{\left (5 \right )}$

4. Теперь упростим:

   $- 3^{- x} 5^{3^{- x} x} \left(x \log{\left (3 \right )} - 1\right) \log{\left (5 \right )}$

---

Ответ:

$- 3^{- x} 5^{3^{- x} x} \left(x \log{\left (3 \right )} - 1\right) \log{\left (5 \right )}$

Первая производная

 x                            
 --                           
  x                           
 3  /1       -x       \       
5  *|-- - x*3  *log(3)|*log(5)
    | x               |       
    \3                /       

$$5^{\frac{x}{3^{x}}} \left(- 3^{- x} x \log{\left (3 \right )} + \frac{1}{3^{x}}\right) \log{\left (5 \right )}$$

Вторая производная

        -x                                                              
 -x  x*3   /                          -x                2       \       
3  *5     *\(-2 + x*log(3))*log(3) + 3  *(-1 + x*log(3)) *log(5)/*log(5)

$$3^{- x} 5^{3^{- x} x} \left(\left(x \log{\left (3 \right )} - 2\right) \log{\left (3 \right )} + 3^{- x} \left(x \log{\left (3 \right )} - 1\right)^{2} \log{\left (5 \right )}\right) \log{\left (5 \right )}$$

Третья производная

         -x                                                                                                                        
  -x  x*3   /   2                       -2*x                3    2         -x                                              \       
-3  *5     *\log (3)*(-3 + x*log(3)) + 3    *(-1 + x*log(3)) *log (5) + 3*3  *(-1 + x*log(3))*(-2 + x*log(3))*log(3)*log(5)/*log(5)

$$- 3^{- x} 5^{3^{- x} x} \left(\left(x \log{\left (3 \right )} - 3\right) \log^{2}{\left (3 \right )} + 3 \cdot 3^{- x} \left(x \log{\left (3 \right )} - 2\right) \left(x \log{\left (3 \right )} - 1\right) \log{\left (3 \right )} \log{\left (5 \right )} + 3^{- 2 x} \left(x \log{\left (3 \right )} - 1\right)^{3} \log^{2}{\left (5 \right )}\right) \log{\left (5 \right )}$$