Производная 5^x*log(x)

Вы ввели

 x       
5 *log(x)

$$5^{x} \log{\left(x \right)}$$

d / x       \
--\5 *log(x)/
dx           

$$\frac{d}{d x} 5^{x} \log{\left(x \right)}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = 5^{x}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. $\frac{d}{d x} 5^{x} = 5^{x} \log{\left(5 \right)}$

   $g{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Производная $\log{\left(x \right)}$ является $\frac{1}{x}$.

   В результате: $5^{x} \log{\left(5 \right)} \log{\left(x \right)} + \frac{5^{x}}{x}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{5^{x} \left(x \log{\left(5 \right)} \log{\left(x \right)} + 1\right)}{x}$

---

Ответ:

$\frac{5^{x} \left(x \log{\left(5 \right)} \log{\left(x \right)} + 1\right)}{x}$

Первая производная

 x                   
5     x              
-- + 5 *log(5)*log(x)
x                    

$$5^{x} \log{\left(5 \right)} \log{\left(x \right)} + \frac{5^{x}}{x}$$

Вторая производная

 x /  1       2             2*log(5)\
5 *|- -- + log (5)*log(x) + --------|
   |   2                       x    |
   \  x                             /

$$5^{x} \left(\log{\left(5 \right)}^{2} \log{\left(x \right)} + \frac{2 \log{\left(5 \right)}}{x} - \frac{1}{x^{2}}\right)$$

Третья производная

   /                                      2   \
 x |2       3             3*log(5)   3*log (5)|
5 *|-- + log (5)*log(x) - -------- + ---------|
   | 3                        2          x    |
   \x                        x                /

$$5^{x} \left(\log{\left(5 \right)}^{3} \log{\left(x \right)} + \frac{3 \log{\left(5 \right)}^{2}}{x} - \frac{3 \log{\left(5 \right)}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}\right)$$

График