Производная 5^x*sin(x)

Вы ввели

 x       
5 *sin(x)

$$5^{x} \sin{\left(x \right)}$$

d / x       \
--\5 *sin(x)/
dx           

$$\frac{d}{d x} 5^{x} \sin{\left(x \right)}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = 5^{x}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. $\frac{d}{d x} 5^{x} = 5^{x} \log{\left(5 \right)}$

   $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

   В результате: $5^{x} \log{\left(5 \right)} \sin{\left(x \right)} + 5^{x} \cos{\left(x \right)}$

2. Теперь упростим:

   $5^{x} \left(\log{\left(5 \right)} \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)$

---

Ответ:

$5^{x} \left(\log{\left(5 \right)} \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)$

Первая производная

 x           x              
5 *cos(x) + 5 *log(5)*sin(x)

$$5^{x} \log{\left(5 \right)} \sin{\left(x \right)} + 5^{x} \cos{\left(x \right)}$$

Вторая производная

 x /             2                            \
5 *\-sin(x) + log (5)*sin(x) + 2*cos(x)*log(5)/

$$5^{x} \left(- \sin{\left(x \right)} + \log{\left(5 \right)}^{2} \sin{\left(x \right)} + 2 \log{\left(5 \right)} \cos{\left(x \right)}\right)$$

Третья производная

 x /             3                                    2          \
5 *\-cos(x) + log (5)*sin(x) - 3*log(5)*sin(x) + 3*log (5)*cos(x)/

$$5^{x} \left(- 3 \log{\left(5 \right)} \sin{\left(x \right)} + \log{\left(5 \right)}^{3} \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} + 3 \log{\left(5 \right)}^{2} \cos{\left(x \right)}\right)$$

График