Производная 5^(x*tan(x))

Вы ввели

 x*tan(x)
5        

$$5^{x \tan{\left(x \right)}}$$

d / x*tan(x)\
--\5        /
dx           

$$\frac{d}{d x} 5^{x \tan{\left(x \right)}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = x \tan{\left(x \right)}$.

2. $\frac{d}{d u} 5^{u} = 5^{u} \log{\left(5 \right)}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} x \tan{\left(x \right)}$:

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      $g{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

         $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

      2. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

         Теперь применим правило производной деления:

         $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

      В результате: $\frac{x \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \tan{\left(x \right)}$

   В результате последовательности правил:

   $5^{x \tan{\left(x \right)}} \left(\frac{x \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \tan{\left(x \right)}\right) \log{\left(5 \right)}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{5^{x \tan{\left(x \right)}} \left(x + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\right) \log{\left(5 \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{5^{x \tan{\left(x \right)}} \left(x + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\right) \log{\left(5 \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

Первая производная

 x*tan(x) /  /       2   \         \       
5        *\x*\1 + tan (x)/ + tan(x)/*log(5)

$$5^{x \tan{\left(x \right)}} \left(x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + \tan{\left(x \right)}\right) \log{\left(5 \right)}$$

Вторая производная

          /                                          2                                  \       
 x*tan(x) |         2      /  /       2   \         \               /       2   \       |       
5        *\2 + 2*tan (x) + \x*\1 + tan (x)/ + tan(x)/ *log(5) + 2*x*\1 + tan (x)/*tan(x)/*log(5)

$$5^{x \tan{\left(x \right)}} \left(2 x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} + \left(x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + \tan{\left(x \right)}\right)^{2} \log{\left(5 \right)} + 2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \log{\left(5 \right)}$$

Третья производная

          /                          3                                                                                                                                                  \       
 x*tan(x) |/  /       2   \         \     2        /       2   \ /             /       2   \          2   \     /  /       2   \         \ /       2        /       2   \       \       |       
5        *\\x*\1 + tan (x)/ + tan(x)/ *log (5) + 2*\1 + tan (x)/*\3*tan(x) + x*\1 + tan (x)/ + 2*x*tan (x)/ + 6*\x*\1 + tan (x)/ + tan(x)/*\1 + tan (x) + x*\1 + tan (x)/*tan(x)/*log(5)/*log(5)

$$5^{x \tan{\left(x \right)}} \left(\left(x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + \tan{\left(x \right)}\right)^{3} \log{\left(5 \right)}^{2} + 6 \left(x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + \tan{\left(x \right)}\right) \left(x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} + \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(5 \right)} + 2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + 2 x \tan^{2}{\left(x \right)} + 3 \tan{\left(x \right)}\right)\right) \log{\left(5 \right)}$$

График