Производная sec(tan(x))^(-1)

Вы ввели

     1     
-----------
sec(tan(x))

$$\frac{1}{\sec{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sec{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sec{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим $u = \tan{\left (x \right )}$.

      2. Производная секанса есть секанс, умноженный на тангенс:

         $\frac{d}{d u} \sec{\left (u \right )} = \tan{\left (u \right )} \sec{\left (u \right )}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )}$:

         1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

            Один из способов:

            1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{\sec{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) \tan{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{\left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) \sin{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} \sec^{2}{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{\sin{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{\sin{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

Первая производная

 /       2   \             
-\1 + tan (x)/*tan(tan(x)) 
---------------------------
        sec(tan(x))        

$$- \frac{\left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}}{\sec{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}}$$

Вторая производная

/       2   \ /   2         /       2   \   /       2   \ /       2        \                       \
\1 + tan (x)/*\tan (tan(x))*\1 + tan (x)/ - \1 + tan (x)/*\1 + tan (tan(x))/ - 2*tan(x)*tan(tan(x))/
----------------------------------------------------------------------------------------------------
                                            sec(tan(x))                                             

$$\frac{1}{\sec{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(- \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(\tan^{2}{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} + 1\right) + \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan^{2}{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} - 2 \tan{\left (x \right )} \tan{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}\right)$$

Третья производная

              /               2                                                                                   2                                                                                                                 \
/       2   \ |  /       2   \     3                2                    /       2   \               /       2   \  /       2        \                 /       2   \ /       2        \               2         /       2   \       |
\1 + tan (x)/*\- \1 + tan (x)/ *tan (tan(x)) - 4*tan (x)*tan(tan(x)) - 2*\1 + tan (x)/*tan(tan(x)) + \1 + tan (x)/ *\1 + tan (tan(x))/*tan(tan(x)) - 6*\1 + tan (x)/*\1 + tan (tan(x))/*tan(x) + 6*tan (tan(x))*\1 + tan (x)/*tan(x)/
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                             sec(tan(x))                                                                                                             

$$\frac{1}{\sec{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(\left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} \left(\tan^{2}{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} + 1\right) \tan{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} - \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} \tan^{3}{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} - 6 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(\tan^{2}{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} + 6 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} - 2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} - 4 \tan^{2}{\left (x \right )} \tan{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}\right)$$